分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，是研究数学问题时经常使用的数学思想方法，要正确的对事物进行分类，通常应从所研究的具体问题出发，选择恰当的分类标准，然后根据对象的属性，把它们不重不漏的划分为若干类别，划分只是手段，分类研究才是目的。它的研究的基本方向是分，但“分”与“合”既是矛盾的对立面，有是矛盾的统一体。这样，有“分”有“合”，先“分”后“合”不仅是分类与整合思想解决数学问题的主要过程，也是分类与整合思想的本质属性。
高中数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题。下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.
1.由数学概念引起的讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等.
例1 函数在
上有最大值
，求实数
的取值范围.
分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当时，
是一次函数且单调递增;当
时,
是二次函数,单调性与
的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.
解: (1)当时，
在
上为单调增函数，最大值为
，满足题意.
(2)当时，函数
，其对称轴为
.①当
时，
在
上为单调增函数，最大值为
，满足题意;②当
时，当
即
时，
在
上为单调增函数，最大值为
，满足题意.
综上所述：当时，函数
在
上有最大值
.
点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的都符合题意,所以整合时,把每一类型中
的范围取并集,得到最终答案.
变式练习1. 已知等比数列中,
分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且
，公比
；设
，求数列
的前n项和
.
2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.
例2 设函数，若对于任意的
都有
成立，求实数
的值为.
分析：对于任意的都有
恒成立求参数的范围问题，可将参数
分离出来.在分离
时,需要对
等于零,
为正,
为负分别进行.分离出
之后,通过求导研究不等式右边关于
的函数，判断其单调性并求出其最值.
解：若，则不论
取何值，
≥0显然成立,所以
；
当 即
时，
≥0可化为：
,设
，则
， 所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，因此
，从而
≥4；
当x＜0 即时，
≥0可化为
，
,
在区间
上单调递增，因此
,从而
≤4，综上所述得
＝4.
点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子.根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对
是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量
展开讨论,所以在整合时,要把
的三个范围取交集.
变式练习2. 已知函数在
上的最大值比最小值大1，则a等于
3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论
例3.已知数列、
（Ⅰ）若是等比数列，试求数列
的前n项和
；
（Ⅱ）当是等比数列时，甲同学说：
一定是等比数列；乙同学说：
一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？
分析: 在（Ⅰ）中，欲求数列的前n项和
，需要研究该数列的性质.由
发现该数列为等比数列,但求和时要注意前
项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（Ⅱ）中，需要由
的性质进一步研究
的性质，对其是否为等比数列作出判断.
解：（I）因为是等比数列
, 所以
.
又
即是以a为首项,
为公比的等比数列.
（II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设的公比为
，则
又
…是以1为首项，
为公比的等比数列，
…是以a为首项，
为公比的等比数列， 即
为：
.当
时，
是等比数列；当
时，
不是等比数列.
注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.
点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是,
的公比取值不同,
的性质不同.
变式练习3: 解关于的不等
．
4. 由图形的不确定性引起的分类讨论
例4 设为椭圆
的两个焦点，P是椭圆上的一点. 已知
是一个直角三角形的三个顶点，且
，求
的值.
分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为是一直角三角形的三顶点，且
，则直角顶点有两种可能性：点
或点
，故有两解.
解: 由已知得 ,
.①若
为直角，则
,解得
,
,所以
=
.
②若为直角，则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2
，得
，
，故
.
变式练习4. 设一双曲线的两条渐近线方程为，此双曲线的离心率为 .
5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.
例5 设是
的一个极值点，求
与
的关系式（用
表示
）并求
的单调区间.
分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对求导,再得
与
的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.
解： ,由
得
∴ ,
.
令得
.由于
是
的极值点，故
，即
.
点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏.
变式练习5. 已知椭圆的离心率
， 则
的值为
6. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际应用问题等
例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外 三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有 种选派方案？
解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有
种不同选法；（2）选出的6人中含有一名全能工人共有
种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有
种不同选法；（4）选出的6人中含有3名全能工人共有
种不同选法.所以共有
+
+
+
=
种选派方案.
点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.
【命题预测】
分类讨论的思想在高考中占有非常重要的地位，应用它求解能减少思维时间、提高书写的逻辑性和条理性，此类试题在高考试卷中的比例，总体上有逐年增加的趋势，这种趋势产生的根本原因是：分类讨论题往往覆盖知识点较多，有利于考查学生掌握的知识面；解分类讨论题需要学生有一定的分析能力，具有一定的逻辑划分思想和技巧，及较好的思维概括性，有利于对学生能力的考查；试卷中占有一定比例的分类讨论题，有利于拉开考生得分的距离，实现高考的选拔的目标。因此，分类讨论思想也仍然是高考命题的热点思想，在客观题中会有简单的体现，解答题中将有中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论。
【解题策略】
在高考中，应用分类讨论思想解题时要明确引起讨论的原因，归纳起来一般有：
（1）概念型：涉及的数学概念是分类讨论的，如绝对值、直线的斜率等；
（2）性质型：运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式、数列的前n项和与通项的关系式；
（3）运算型：涉及的数学运算要求分类讨论，如除法中的除数、不等号的方向等；
（4）几何型：涉及的图形具有不确定性，如形状、位置等；
（5）含参型：求解的数学问题中含有参变量，如含参函数、方程、不等式等；
（6）化归型：有的数学问题较复杂或非常规，分类解决简捷，如排列、组合实际问题等；
运用分类讨论思想解题的基本步骤：
（1）明确讨论的对象和讨论的范围（全域）；
（2）确定统一的分类标准，进行合理的分类；
（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）；
（4）总结概括，得出结论；
简化分类讨论的常用策略：消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解。这是分类讨论思想应用的更高境界。
